1、北大留学生考试真题物理

热力学

1. 一个理想气体的体积为 V，压力为 P。当体积增大到 2V 时，压力为：

(A) P/2

(B) P/4

(C) P

(D) 2P

2. 一个热机的一个热库温度为 T1，另一个热库温度为 T2。该热机的最大效率为：

(A) T1 T2 / T1 + T2

(B) T1 + T2 / T1 T2

(C) T2 T1 / T2 + T1

(D) T2 + T1 / T2 T1

电磁学

3. 一个带电粒子在磁场中运动，其轨迹为：

(A) 圆形

(B) 椭圆形

(C) 双曲线

(D) 抛物线

4. 一个电容器的电容为 C，两端电压为 V。当电容器充满电后，电容器中存储的能量为：

(A) CV

(B) CV^2 / 2

(C) V^2 / 2C

(D) 1/2CV^2

力学

5. 一个物体以速度 v 从高度 h 处自由落体。该物体的运动方程为：

(A) y = h 1/2gt^2

(B) y = h + 1/2gt^2

(C) y = ht 1/2gt^2

(D) y = ht + 1/2gt^2

6. 一个弹簧的弹性系数为 k，一个质量为 m 的物体悬挂在弹簧上。该物体的振动周期为：

(A) 2π√m/k

(B) 2π√k/m

(C) 4π√m/k

(D) 4π√k/m

原子物理

7. 根据玻尔模型，电子在氢原子的基态能量为：

(A) 13.6 eV

(B) 27.2 eV

(C) 54.4 eV

(D) 108.8 eV

8. 一个原子从激发态向较低能级跃迁时，会释放：

(A) 光子

(B) 电子

(C) 质子

(D) 中子

近代物理

9. 光电效应实验表明：

(A) 光是粒子流

(B) 光是波

(C) 光是粒子波二象性

(D) 光速是无限的

10. 相对论预言：

(A) 时空是弯曲的

(B) 物体在接近光速时质量会增加

(C) 重力是由质量吸引造成的

(D) 以上所有

2、北大留学生入学考试数学卷

北京大学留学生入学考试

数学卷

时间：180 分钟

分数：150 分

说明：

1. 本卷共 6 道大题，满分 150 分。

2. 请用黑色或蓝色钢笔或圆珠笔作答，字迹清楚。

3. 答题时请在答题卡上作答，在试卷上作答无效。

4. 考试期间，不得使用计算器、手机或其他电子设备。

一、单项选择题（每题 5 分，共 25 分）

1. 求解方程组：

$$x + y = 5$$

$$x^2 + y^2 = 10$$

(A) (2, 3), (2, 3)

(B) (3, 2), (3, 2)

(C) (2, 3), (2, 3)

(D) (3, 2), (3, 2)

2. 已知函数 $f(x) = \sqrt{x^2 4}$，则 $f(x)$ 的定义域为：

(A) $[2, 1) \cup (1, 2]$

(B) $[2, 1] \cup [2, \infty)$

(C) $(\infty, 2) \cup (1, 1) \cup (2, \infty)$

(D) $(\infty, 2) \cup (1, 2] \cup [2, \infty)$

3. 若向量 $\vec{a} = (2, 3)$，向量 $\vec{b} = (3, 2)$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 为：

(A) 1

(B) 1

(C) 6

(D) 6

4. 已知 $A$ 为 $2\times 2$ 矩阵，若 $A^2 = I$，则 $A$ 的行列式为：

(A) 0

(B) 1

(C) 1

(D) 2

5. 求函数 $f(x) = \sin x$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的最大值和最小值。

(A) 最大值：1，最小值：0

(B) 最大值：1，最小值：1

(C) 最大值：0，最小值：1

(D) 最大值：$\pi/2$，最小值： $\pi/2$

二、填空题（每题 5 分，共 20 分）

1. 求解不等式 $2x^2 5x + 3 < 0$ 的解集为：___________。

2. 已知函数 $f(x) = x^3 3x^2 + 2x 1$，其极值为：___________。

3. 求向量 $\vec{a} = (1, 2)$ 与向量 $\vec{b} = (3, 1)$ 之间的夹角为：___________。

4. 求解方程组：

$$\begin{cases}x + y + z = 6 \\ 2x y + z = 4 \\ x 2y + 3z = 0 \end{cases}$$

得到解集：___________。

三、解答题（每题 20 分，共 60 分）

1. 求解函数 $f(x) = x^4 2x^2 + 1$ 的单调区间和极值。

2. 求函数 $f(x) = e^x + \sin x$ 在区间 $[0, \pi/2]$ 上的定积分。

3. 求解空间中直线 $L_1: x + y 2z = 0$ 与直线 $L_2: 2x z = 0$ 的交点。

四、证明题（25 分）

证明：对于任意实数 $x$，$|x| = \sqrt{x^2}$。

五、综合题（20 分）

已知向量 $\vec{a} = (2, 1, 3)$，向量 $\vec{b} = (1, 2, 1)$。求：

1. 向量 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的坐标；

2. 向量 $\vec{a}$ 关于向量 $\vec{b}$ 的投影；

3. 向量 $\vec{a}$ 与平面 $4x + 3y 2z = 0$ 所成角的余弦值。

3、北大留学生考试真题 数学

北大留学生考试真题（数学）

1. 单选题（每题 5 分）

1. 求极限：lim(x>∞) (√(4x2+3x) √(4x2+1)) / x

2. 求导数：y = (x3 2x2) / (x 1)

3. 积分：∫(x2 + 1) / (x + 1) dx

4. 求面积：已知抛物线 y = x2 和直线 y = 2x，求它们之间的面积。

5. 已知向量 a = (2, 3), b = (1, 5)，求 a + 2b。

2. 填空题（每题 5 分）

1. 求解方程：x3 8 = 0

2. 求解不等式：|x 2| < 4

3. 已知复数 z = 3 + 4i，求 z 的共轭复数。

4. 求圆 (x 3)2 + (y + 2)2 = 25 的圆心和半径。

5. 求直线 y = x + 2 与抛物线 y = x2 的交点。

3. 计算题（每题 10 分）

1. 求极限：lim(x>0) (e^x 1) / x

2. 求不定积分：∫(2xsinx + x2cos x) dx

3. 求定积分：∫[0, 1] (x3 2x) dx

4. 求点 (1, 2) 到直线 2x + 3y = 11 的距离。

5. 设 A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，求 A ∪ B 和 A ∩ B。

4. 证明题（每题 15 分）

1. 证明：对于任意实数 x 和 y，都有 |x + y| ≤ |x| + |y|。

2. 证明：对于任意三角形，其外接圆的半径等于三角形的三条中线所组成的三角形的内切圆半径。

3. 证明：对于任意正整数 n，都有 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。

4. 证明：对于任意复数 z = a + bi，都有 |z|2 = a2 + b2。

5. 证明：对于任意抛物线 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)，其顶点坐标为 (b/2a, D/4a)，其中 D = b2 4ac。